设 $O$ 为坐标原点，$F_1$，$F_2$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （$a > 0$，$b > 0$）的焦点. 若在双曲线上存在点 $P$，满足 $\angle F_1PF_2 = 60^{\circ}$，$|OP| = \sqrt{7}a$，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设 $PF_1=r_1$，$PF_2=r_2$，双曲线半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2+b^2$. 由 $OP=\sqrt7a$ 以及两焦点关于原点对称，得 又因双曲线的定义， 故 在三角形 $F_1PF_2$ 中， $F_1F_2=2c$，且 $\angle F_1PF_2=60^{\circ}$. 由余弦定理， 所以 $c^2=3a^2$，从而 $b^2=c^2-a^2=2a^2$，即 $\frac ba=\sqrt2$. 双曲线的渐近线为 $y=\pm\frac ba x=\pm\sqrt2x$，即 $\sqrt2x\pm y=0$，故选 D. \end{solution}

已知 $m$ 是非零实数，抛物线 $C: y^{2} = 2px$ （$p > 0$） 的焦点 $F$ 在直线 $l: x - my - \frac{m^{2}}{2} = 0$ 上.

(1) 若 $m = 2$，求抛物线 $C$ 的方程； (2) 设直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，过 $A$，$B$ 分别作抛物线 $C$ 的准线的垂线，垂足为 $A_{1}$，$B_{1}$，$\triangle AA_{1}F$，$\triangle BB_{1}F$ 的重心分别为 $G$，$H$. 求证：对任意非零实数 $m$，抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点在以线段 $GH$ 为直径的圆外.