已知函数 $f(x) = A \sin (\omega x + \varphi)$ （$A$，$\omega$，$\varphi$ 均为正的常数） 的最小正周期为 $\pi$，当 $x = \frac{2\pi}{3}$ 时，函数 $f(x)$ 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）

\begin{solution} 最小正周期满足 $\dfrac{2\pi}{\omega}=\pi$，所以 $\omega=2$. 在 $x=\frac{2\pi}{3}$ 时取得最小值，故 从而 $\varphi=\frac{\pi}{6}+2k\pi$. 相位相差整数个周期不改变函数，故可取 $f(x)=A\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$.

因为 $7\frac{\pi}{6}<4<4\frac{\pi}{3}$，所以 $\sin4<0$，并且 $\frac{\pi}{6}-4$ 加上 $2\pi$ 后落在 $(5\frac{\pi}{6},\pi)$ 内. 于是 且 $f(-2)=A\sin(\frac{\pi}{6}-4)<A\sin\frac{\pi}{6}=f(0)$. 因此 $f(2)<f(-2)<f(0)$，选 A. \end{solution}

设 $x^{3} + ax + b = 0$，其中 $a$，$b$ 均为实数. 下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是______.

① $a = -3$，$b = -3$； ② $a = -3$，$b = 2$； ③ $a = -3$，$b > 2$； ④ $a = 0$，$b = 2$； ⑤ $a = 1$，$b = 2$.

\begin{solution} 令 $g(x)=x^3+ax+b$，则 $g'(x)=3x^2+a$.

当 $a=-3$ 时，$g'(x)=3(x^2-1)$，极值点为 $x=-1$，$1$，且 $g(-1)=b+2$，$g(1)=b-2$. 条件\circled{1}中 $b=-3$，两个极值点的函数值均为负，曲线只在 $x>1$ 上与 $x$ 轴相交一次；条件\circled{2}中 $b=2$，方程为 $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0$，有两个不同的实根，故不满足；条件\circled{3}中 $b>2$，两个极值点的函数值均为正，曲线只在 $x<-1$ 上与 $x$ 轴相交一次.

条件\circled{4}中方程为 $x^3+2=0$，函数 $x^3+2$ 严格递增，只有一个实根；条件\circled{5}中 $g'(x)=3x^2+1>0$，函数严格递增，也只有一个实根. 所以正确条件为 $\circled{1}$，$\circled{3}$，$\circled{4}$，$\circled{5}$. \end{solution}

设 $n \in \mathbf{N}^*$，$x_n$ 是曲线 $y = x^{2n+2} + 1$ 在点 $(1,2)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标.

(1) 求数列 $\{x_{n}\}$ 的通项公式； (2) 记 $T_{n} = x_{1}^{2}x_{3}^{2}\cdots x_{2n - 1}^{2}$. 证明：$T_{n} \geqslant \frac{1}{4n}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数 $y=x^{2n+2}+1$ 在 $(1,2)$ 处的导数为 $2n+2$，所以切线方程为 令 $y=0$，得 $-2=(2n+2)(x_n-1)$，$x_n=1-\frac1{n+1}=\frac n{n+1}$.

\item 由通项公式， 当 $k\geqslant2$ 时， 故 当 $n=1$ 时，$T_1=\frac14=\frac1{4n}$；当 $n\geqslant2$ 时， 所以对任意 $n\in\mathbf{N}^*$，都有 $T_n\geqslant\frac1{4n}$. \end{enumerate} \end{solution}