设 $n \in \mathbf{N}^*$，$x_n$ 是曲线 $y = x^{2n+2} + 1$ 在点 $(1,2)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标.

(1) 求数列 $\{x_{n}\}$ 的通项公式； (2) 记 $T_{n} = x_{1}^{2}x_{3}^{2}\cdots x_{2n - 1}^{2}$. 证明：$T_{n} \geqslant \frac{1}{4n}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数 $y=x^{2n+2}+1$ 在 $(1,2)$ 处的导数为 $2n+2$，所以切线方程为 令 $y=0$，得 $-2=(2n+2)(x_n-1)$，$x_n=1-\frac1{n+1}=\frac n{n+1}$.

\item 由通项公式， 当 $k\geqslant2$ 时， 故 当 $n=1$ 时，$T_1=\frac14=\frac1{4n}$；当 $n\geqslant2$ 时， 所以对任意 $n\in\mathbf{N}^*$，都有 $T_n\geqslant\frac1{4n}$. \end{enumerate} \end{solution}