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10
三角函数
★★★★☆
已知函数
f
(
x
)
=
A
sin
(
ω
x
+
φ
)
f(x) = A \sin (\omega x + \varphi)
f
(
x
)
=
A
sin
(
ω
x
+
φ
)
（
A
A
A
，
ω
\omega
ω
，
φ
\varphi
φ
均为正的常数） 的最小正周期为
π
\pi
π
，当
x
=
2
π
3
x = \frac{2\pi}{3}
x
=
3
2
π
时，函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
\begin{solution} 最小正周期满足
2
π
ω
=
π
\dfrac{2\pi}{\omega}=\pi
ω
2
π
=
π
，所以
ω
=
2
\omega=2
ω
=
2
. 在
x
=
2
π
3
x=\frac{2\pi}{3}
x
=
3
2
π
时取得最小值，故
sin
(
4
π
3
+
φ
)
=
−
1
\sin\left(\frac{4\pi}{3}+\varphi\right)=-1
sin
(
3
4
π
+
φ
)
=
−
1
从而
φ
=
π
6
+
2
k
π
\varphi=\frac{\pi}{6}+2k\pi
φ
=
6
π
+
2
k
π
. 相位相差整数个周期不改变函数，故可取
f
(
x
)
=
A
sin
(
2
x
+
π
6
)
f(x)=A\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)
f
(
x
)
=
A
sin
(
2
x
+
6
π
)
.
因为
7
π
6
<
4
<
4
π
3
7\frac{\pi}{6}<4<4\frac{\pi}{3}
7
6
π
<
4
<
4
3
π
，所以
sin
4
<
0
\sin4<0
sin
4
<
0
，并且
π
6
−
4
\frac{\pi}{6}-4
6
π
−
4
加上
2
π
2\pi
2
π
后落在
(
5
π
6
,
π
)
(5\frac{\pi}{6},\pi)
(
5
6
π
,
π
)
内. 于是
f
(
2
)
−
f
(
−
2
)
=
A
[
sin
(
4
+
π
6
)
−
sin
(
π
6
−
4
)
]
=
A
3
sin
4
<
0
f(2)-f(-2)=A\left[\sin\left(4+\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}-4\right)\right]=A\sqrt{3}\sin4<0
f
(
2
)
−
f
(
−
2
)
=
A
[
sin
(
4
+
6
π
)
−
sin
(
6
π
−
4
)
]
=
A
3
sin
4
<
0
且
f
(
−
2
)
=
A
sin
(
π
6
−
4
)
<
A
sin
π
6
=
f
(
0
)
f(-2)=A\sin(\frac{\pi}{6}-4)<A\sin\frac{\pi}{6}=f(0)
f
(
−
2
)
=
A
sin
(
6
π
−
4
)
<
A
sin
6
π
=
f
(
0
)
. 因此
f
(
2
)
<
f
(
−
2
)
<
f
(
0
)
f(2)<f(-2)<f(0)
f
(
2
)
<
f
(
−
2
)
<
f
(
0
)
，选 A. \end{solution}
A.
f
(
2
)
<
f
(
−
2
)
<
f
(
0
)
f(2) < f(-2) < f(0)
f
(
2
)
<
f
(
−
2
)
<
f
(
0
)
B.
f
(
0
)
<
f
(
2
)
<
f
(
−
2
)
f(0) < f(2) < f(-2)
f
(
0
)
<
f
(
2
)
<
f
(
−
2
)
C.
f
(
−
2
)
<
f
(
0
)
<
f
(
2
)
f(-2) < f(0) < f(2)
f
(
−
2
)
<
f
(
0
)
<
f
(
2
)
D.
f
(
2
)
<
f
(
0
)
<
f
(
−
2
)
f(2) < f(0) < f(-2)
f
(
2
)
<
f
(
0
)
<
f
(
−
2
)
2015 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题
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