如图，给出定点 $A(a,0)$（$a>0$，$a\neq 1$）和直线 $l:x=-1$. $B$ 是直线 $l$ 上的动点，$\angle BOA$ 的角平分线交 $AB$ 于点 $C$. 求点 $C$ 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 $a$ 值的关系.