如图，在直角坐标系 $xOy$ 中，有一组对角线长为 $a_{n}$ 的正方形 $A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}$（$n=1$，$2$，$\cdots$），其对角线 $B_n D_n$ 依次放置在 $x$ 轴上（相邻顶点重合）. 设 $\{a_n\}$ 是首项为 $a$，公差为 $d$（$d > 0$）的等差数列，点 $B_1$ 的坐标为 $(d, 0)$.

(1) 当 $a = 8$，$d = 4$ 时，证明：顶点 $A_{1}$， $A_{2}$，$A_{3}$ 不在同一条直线上； (2) 在（1）的条件下，证明：所有顶点 $A_{n}$ 均落在抛物线 $y^{2}=2x$ 上； (3) 为使所有顶点 $A_{n}$ 均落在抛物线 $y^{2}=2px$（$p>0$）上，求 $a$ 与 $d$ 之间所应满足的关系式.