如图，已知底面半径为 $r$ 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为 $a$，最小值为 $b$，那么圆柱被截后剩下部分的体积是______.

\begin{solution} 取圆柱底面为 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant r^2\}$，以底面为 $z=0$. 截平面下方剩余部分在底面点 $(x,y)$ 处的母线长度可写成一次函数 $\ell(x,y)=ux+vy+w$. 若 $(u,v)\ne(0,0)$，则一次函数在圆盘 $D$ 上的最大值和最小值分别在一对相反点 $(x_0,y_0)$、$(-x_0,-y_0)$ 处取得，因此 $a=\ell(x_0,y_0)$，$b=\ell(-x_0,-y_0)$，从而 $a+b=2w$；若 $u=v=0$，则 $\ell$ 为常数，结论同样成立.

所以剩余部分的体积为 前两个积分因圆盘关于原点对称而为 $0$，最后一个积分为 $w\pi r^2$，故 $V=w\pi r^2=\frac12\pi r^2(a+b)$. \end{solution}