已知函数 $f(x)=\log_2\dfrac{1+x}{1-x}$.

(1) 解方程 $f(x)=1$； (2) 设 $x\in(-1,1)$，$a\in(1,+\infty)$，证明：$\dfrac{ax-1}{a-x}\in(-1,1)$，且 $f\!\left(\dfrac{ax-1}{a-x}\right)-f(x)=-f\!\left(\dfrac1a\right)$； (3) 设数列 $\{x_n\}$ 中，$x_1\in(-1,1)$，$x_{n+1}=(-1)^{n+1}\dfrac{3x_n-1}{3-x_n}$，$n\in\mathbf{N}^*$，求 $x_1$ 的取值范围，使得 $x_3\ge x_n$ 对任意 $n\in\mathbf{N}^*$ 成立.