已知椭圆的中心在坐标原点 $O$，焦点在坐标轴上，直线 $y = x + 1$ 与该椭圆相交于 $P$ 和 $Q$，且 $OP \perp OQ$，$|PQ| = \frac{\sqrt{10}}{2}$，求椭圆的方程.