已知各项全不为零的数列 $\{a_{k}\}$ 的前 $k$ 项和为 $S_{k}$，且 $S_{k} = \frac{1}{2} a_{k} a_{k + 1}$（$k \in \mathbf{N}^*$），其中 $a_{1} = 1$.

(1) 求数列 $\{a_{k}\}$ 的通项公式； (2) 对任意给定的正整数 $n$（$n \geqslant 2$），数列 $\{b_k\}$ 满足 $\frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{k-n}{a_{k+1}}$ （$k = 1$，$2$，$\cdots$，$n-1$），$b_1 = 1$. 求 $b_1 + b_2 + \cdots + b_n$.