设 $p$：实数 $x$，$y$ 满足 $\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\le2$，$q$：实数 $x$，$y$ 满足 ，则 $p$ 是 $q$ 的（ ）

\begin{solution} 令 $u=x-1$，$v=y-1$.条件 $q$ 化为 $v\geq u-1$，$v\geq-u-1$，$v\leq0$. 由前两个不等式得 $v\geq |u|-1$，再结合 $v\leq0$ 可知 $-1\leq v\leq0$，且 $|u|\leq v+1$.因此 故满足 $q$ 的点都满足 $p$，即 $q\Rightarrow p$.但点 $(1,1+\sqrt2)$ 满足 $p$，而 $y=1+\sqrt2>1$，不满足 $q$，所以 $p\not\Rightarrow q$.因此 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，选 A. \end{solution}

设直线 $l_1$，$l_2$ 分别是函数 图象上点 $P_1$，$P_2$ 处的切线，$l_1$ 与 $l_2$ 垂直相交于点 $P$，且 $l_1$，$l_2$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A$，$B$，则 $\triangle PAB$ 的面积的取值范围是（ ）

\begin{solution} 设 $P_1=(x_1,-\ln x_1)$，$P_2=(x_2,\ln x_2)$，其中 $0<x_1<1<x_2$.两条切线的斜率分别为 $-\frac{1}{x_1}$ 和 $\frac{1}{x_2}$.由两切线垂直， 故 $x_1x_2=1$.令 $t=\ln x_2=-\ln x_1>0$，则 $x_1=\mathrm{e}^{-t}$，$x_2=\mathrm{e}^t$.两条切线分别为 $l_1:y=-\mathrm{e}^tx+t+1$，$l_2:y=\mathrm{e}^{-t}x+t-1$. 它们在 $y$ 轴上的截距之差为 $2$，而联立两式得交点 $P$ 的横坐标 所以 当 $t>0$ 时，分母大于 $2$，且随 $t$ 从 $0$ 增大到 $+\infty$ 时该面积从 $1$ 降到 $0$.故面积的取值范围为 $(0,1)$，选 A. \end{solution}

在平面直角坐标系中，当 $P(x,y)$ 不是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为 $P'\left(\dfrac{y}{x^2+y^2},-\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)$；当 $P$ 是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为它自身，平面曲线 $C$ 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 $C'$ 定义为曲线 $C$ 的“伴随曲线”. 现有下列命题：

① 若点 $A$ 的“伴随点”是点 $A'$，则点 $A'$ 的“伴随点”是点 $A$； ② 单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③ 若曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称，则其“伴随曲线” $C'$ 关于 $y$ 轴对称； ④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是______. （写出所有真命题的序列）

\begin{solution} 对非原点 $P=(x,y)$，记 $r^2=x^2+y^2$，则其伴随点为 再次取伴随点时，因 有 一般并不成立.例如 $(1,0)$ 的伴随点为 $(0,-1)$，而 $(0,-1)$ 的伴随点为 $(-1,0)$，所以命题 $\circled{1}$ 错误.

若 $P$ 在单位圆上，则 $r^2=1$，其伴随点为 $(y,-x)$，仍在单位圆上；该变换在单位圆上是旋转，且为双射，所以单位圆的伴随曲线仍是单位圆，命题 $\circled{2}$ 正确.

若 $C$ 关于 $x$ 轴对称，则 $(x,y)\in C$ 时 $(x,-y)\in C$.这两个点的伴随点分别为 $\left(\frac y{x^2+y^2},-\frac x{x^2+y^2}\right)$，$\left(-\frac y{x^2+y^2},-\frac x{x^2+y^2}\right)$ 它们关于 $y$ 轴对称，所以命题 $\circled{3}$ 正确.

命题 $\circled{4}$ 错误.例如直线 $y=1$ 上的三个点 $(0,1)$、$(1,1)$、$(2,1)$ 的伴随点分别为 $(1,0)$，$\left(\dfrac12,-\dfrac12\right)$，$\left(\dfrac15,-\dfrac25\right)$. 前两点连线斜率为 $1$，后两点连线斜率为 $-\dfrac13$，三点不共线.因此所有真命题的序列为 $\circled{2}\circled{3}$. \end{solution}

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$\angle ADC=\angle PAB=90^\circ$，$BC=CD=\dfrac12AD$. $E$ 为棱 $AD$ 的中点，异面直线 $PA$ 与 $CD$ 所成的角为 $90^\circ$.

(1) 在平面 $PAB$ 内找一点 $M$，使得直线 $CM\parallel$ 平面 $PBE$，并说明理由； (2) 若二面角 $P-CD-A$ 的大小为 $45^\circ$，求直线 $PA$ 与平面 $PCE$ 所成角的正弦值.

已知数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $1$，$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{n+1}=qS_n+1$，其中 $q>0$，$n\in\mathbf{N}^*$.

(1) 若 $2a_2$，$a_3$，$a_2+2$ 成等差数列，求 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 设双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{a_n^2}=1$ 的离心率为 $e_n$，且 $e_2=\dfrac53$，证明：$e_1+e_2+\cdots+e_n>\dfrac{4^n-3^n}{3^{n-1}}$.

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 $3$ 个顶点，直线 $l:y=-x+3$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $T$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程及点 $T$ 的坐标； (2) 设 $O$ 是坐标原点，直线 $l'$ 平行于 $OT$，与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A$，$B$，且与直线 $l$ 交于点 $P$. 证明：存在常数 $\lambda$，使得 $\left|PT\right|^2=\lambda\left|PA\right|\cdot\left|PB\right|$，并求 $\lambda$ 的值.