已知数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $1$，$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{n+1}=qS_n+1$，其中 $q>0$，$n\in\mathbf{N}^*$.

(1) 若 $2a_2$，$a_3$，$a_2+2$ 成等差数列，求 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 设双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{a_n^2}=1$ 的离心率为 $e_n$，且 $e_2=\dfrac53$，证明：$e_1+e_2+\cdots+e_n>\dfrac{4^n-3^n}{3^{n-1}}$.

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 $3$ 个顶点，直线 $l:y=-x+3$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $T$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程及点 $T$ 的坐标； (2) 设 $O$ 是坐标原点，直线 $l'$ 平行于 $OT$，与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A$，$B$，且与直线 $l$ 交于点 $P$. 证明：存在常数 $\lambda$，使得 $\left|PT\right|^2=\lambda\left|PA\right|\cdot\left|PB\right|$，并求 $\lambda$ 的值.