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11解析几何★★★★☆
已知点 A(0,2n)A\left(0, \frac{2}{n}\right)，B(0,−2n)B\left(0, -\frac{2}{n}\right)，C(4+2n,0)C\left(4 + \frac{2}{n}, 0\right)，其中 nn 为正整数. 设 SnS_{n} 表示 △ABC\triangle ABC 外接圆的面积，则 lim⁡n→∞Sn=\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_{n} =______.

2003 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★★☆
在下列条件中，可判断平面 α\alpha 与 β\beta 平行的是（ ）
A.
α\alpha，β\beta 都垂直于平面 γ\gamma
B.
α\alpha 内存在不共线的三点到 β\beta 的距离相等
C.
ll，mm 是 α\alpha 内两条直线，且 l∥βl \parallel \beta，m∥βm \parallel \beta
D.
ll，mm 是两条异面直线，且 l∥αl \parallel \alpha，m∥αm \parallel \alpha，l∥βl \parallel \beta，m∥βm \parallel \beta

2003 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
f(x)f(x) 是定义在区间 [−c,c][-c, c] 上的奇函数，其图象如图所示：令 g(x)=af(x)+bg(x) = a f(x) + b，则下列关于函数 g(x)g(x) 的叙述正确的是（ ）
A.
若 a<0a < 0，则函数 g(x)g(x) 的图象关于原点对称
B.
若 a=−1a = -1，−2<b<0-2 < b < 0，则方程 g(x)=0g(x) = 0 有大于 2 的实根
C.
若 a≠0a \neq 0，b=2b = 2，则方程 g(x)=0g(x) = 0 有两个实根
D.
若 a⩾1a \geqslant 1，b<2b < 2，则方程 g(x)=0g(x) = 0 有三个实根

2003 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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18平面向量★★★★☆
已知平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，A1A⊥A_{1}A \perp 平面 ABCDABCD，AB=4AB = 4，AD=2AD = 2. 若 B1D⊥BCB_{1}D \perp BC，直线 B1DB_{1}D 与平面 ABCDABCD 所成的角等于 30∘30^{\circ}，求平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的体积.

2003 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22 米22\text{ 米}，要求通行车辆限高 4.5 米4.5\text{ 米}，隧道全长 2.5 千米2.5\text{ 千米}，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
(1) 若最大拱高 hh 为 6 米6\text{ 米}，则隧道设计的拱宽 ll 是多少？ (2) 若最大拱高 hh 不小于 6 米6\text{ 米}，则应如何设计拱高 hh 和拱宽 ll，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
注：半个椭圆的面积公式为 S=π4lhS = \frac{\pi}{4} lh，柱体体积为：底面积乘以高，本题结果精确到 0.1 米0.1\text{ 米}.

2003 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21平面向量★★★★☆
在以 OO 为原点的直角坐标系中，点 A(4,−3)A(4, -3) 为 △OAB\triangle OAB 的直角顶点. 已知 ∣AB∣=2∣OA∣|AB| = 2|OA|，且点 BB 的纵坐标大于零.
(1) 求向量 AB→\overrightarrow{AB} 的坐标； (2) 求圆 x2−6x+y2+2y=0x^{2} - 6x + y^{2} + 2y = 0 关于直线 OBOB 对称的圆的方程； (3) 是否存在实数 aa，使抛物线 y=ax2−1y = ax^2 - 1 上总有关于直线 OBOB 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求 aa 的取值范围.

2003 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★☆
已知集合 MM 是满足下列性质的函数 f(x)f(x) 的全体：存在非零常数 TT，对任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，有 f(x+T)=Tf(x)f(x + T) = Tf(x) 成立.
(1) 函数 f(x)=xf(x) = x 是否属于集合 MM？说明理由. (2) 设函数 f(x)=axf(x) = a^x（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的图象与 y=xy = x 的图象有公共点，证明：f(x)=ax∈Mf(x) = a^x \in M. (3) 若函数 f(x)=sin⁡kx∈Mf(x) = \sin kx \in M，求实数 kk 的取值范围.

2003 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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