已知集合 $M$ 是满足下列性质的函数 $f(x)$ 的全体：存在非零常数 $T$，对任意 $x \in \mathbf{R}$，有 $f(x + T) = Tf(x)$ 成立.

(1) 函数 $f(x) = x$ 是否属于集合 $M$？说明理由. (2) 设函数 $f(x) = a^x$（$a > 0$，且 $a \neq 1$）的图象与 $y = x$ 的图象有公共点，证明：$f(x) = a^x \in M$. (3) 若函数 $f(x) = \sin kx \in M$，求实数 $k$ 的取值范围.