已知平行六面体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$A_{1}A \perp$ 平面 $ABCD$，$AB = 4$，$AD = 2$. 若 $B_{1}D \perp BC$，直线 $B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 所成的角等于 $30^{\circ}$，求平行六面体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的体积.

在以 $O$ 为原点的直角坐标系中，点 $A(4, -3)$ 为 $\triangle OAB$ 的直角顶点. 已知 $|AB| = 2|OA|$，且点 $B$ 的纵坐标大于零.

(1) 求向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标； (2) 求圆 $x^{2} - 6x + y^{2} + 2y = 0$ 关于直线 $OB$ 对称的圆的方程； (3) 是否存在实数 $a$，使抛物线 $y = ax^2 - 1$ 上总有关于直线 $OB$ 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求 $a$ 的取值范围.