已知椭圆 $C$ 的直角坐标方程为 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$. 若过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$ 两点（其中 $y_1 > y_2$）且满足 $\frac{|AF|}{|BF|} = 2$，试求直线 $l$ 的方程.