设各项均为正数的数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$. 已知 $2a_2=a_1+a_3$，数列 $\left\{\sqrt{S_n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式（用 $n$，$d$ 表示）； (2) 设 $c$ 为实数，对满足 $m+n=3k$ 且 $m\neq n$ 的任意正整数 $m$，$n$，$k$，不等式 $S_m+S_n>cS_k$ 都成立. 求证：$c$ 的最大值为 $\frac{9}{2}$.