如图①，在等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle A = 90^{\circ}$，$BC = 6$. $D$，$E$ 分别是 $AC$，$AB$ 上的点，$CD = BE = \sqrt{2}$，$O$ 为 $BC$ 的中点. 将 $\triangle ADE$ 沿 $DE$ 折起，得到下图②所示的四棱锥 $A^{\prime} - BCDE$，其中 $A^{\prime}O = \sqrt{3}$.

(1) 证明：$A^{\prime}O \perp$ 平面 $BCDE$. (2) 求二面角 $A^{\prime} - CD - B$ 的平面角的余弦值.