(1) 若实数 $x$，$y$，$m$ 满足 $|x - m| < |y - m|$，则称 $x$ 比 $y$ 接近 $m$. 若 $x^{2} - 1$ 比 $3$ 接近 $0$，求 $x$ 的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数 $a$，$b$，证明：$a^{2}b + ab^{2}$ 比 $a^{3} + b^{3}$ 接近 $2ab\sqrt{ab}$； (3) 已知函数 $f(x)$ 的定义域 $D = \{x \mid x \neq k\pi, k \in \mathbf{Z}, x \in \mathbf{R}\}$. 任取 $x \in D$，$f(x)$ 等于 $1 + \sin x$ 和 $1 - \sin x$ 中接近 $0$ 的那个值. 写出函数 $f(x)$ 的解析式，并指出它的奇偶性，最小正周期，最小值和单调性（结论不要求证明）.