高为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 的四棱锥 $S - ABCD$ 的底面是边长为 1 的正方形，点 $S$，$A$，$B$，$C$，$D$ 均在半径为 1 的同一球面上，则底面 $ABCD$ 的中心与顶点 $S$ 之间的距离为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设正方形中心为 $O$，球心为 $T$. 由正方形边长为 $1$，得 $OA=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 因为 $A$，$B$，$C$，$D$ 在同一球面上，球心 $T$ 在过 $O$ 且垂直于底面的直线上，且 $OT^2=1-OA^2=\frac{1}{2}$. 取底面为水平面，并令顶点 $S$ 在其上方，若 $T$ 在底面下方，则 $ST\geqslant\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}>1$，与 $S$ 在半径为 $1$ 的球面上矛盾，故 $T$ 在底面上方，且 $OT=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 设 $S$ 到底面的高为 $h=\frac{\sqrt{2}}{4}$，由 $ST=1$ 得 $OS^2=1+2h\cdot OT-OT^2=1+2\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}=1$. 所以底面中心与顶点 $S$ 的距离为 $1$，故选 C. \end{solution}

设 $m$，$k$ 为整数，方程 $mx^2 - kx + 2 = 0$ 在区间 $(0,1)$ 内有两个不同的根，则 $m + k$ 的最小值为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设方程的两个根为 $r_1$，$r_2$，其中 $0<r_1<r_2<1$. 由韦达定理，$r_1r_2=\frac{2}{m}>0$，且 $r_1+r_2=\frac{k}{m}>0$，故 $m>0$，$k>0$. 又因 $r_1r_2<1$，得 $m>2$，所以 $m\geqslant3$. 方程有两个不同的实根，故判别式 $\Delta=k^2-8m>0$. 另外，$f(1)=m-k+2=m(1-r_1)(1-r_2)>0$，所以 $k<m+2$.

当 $m=3$，$4$，$5$ 时，由 $k<m+2$ 及 $k$ 为正整数，分别有 $k\leqslant4$，$5$，$6$，但此时分别有 $k^2\leqslant16<24=8m$，$k^2\leqslant25<32=8m$，$k^2\leqslant36<40=8m$，均与 $\Delta>0$ 矛盾. 当 $m\geqslant7$ 时，$k^2>8m\geqslant56$，所以 $k\geqslant8$，从而 $m+k\geqslant15$. 因此只需考察 $m=6$，此时 $k^2>48$，故 $k\geqslant7$. 取 $k=7$，方程为 $6x^2-7x+2=0=(3x-2)(2x-1)$，两个根为 $\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，均在 $(0,1)$ 内. 所以 $m+k$ 的最小值为 $6+7=13$，故选 D. \end{solution}

如图，在四面体 $ABCD$ 中，平面 $ABC \perp$ 平面 $ACD$，$AB \perp BC$，$AD = CD$，$\angle CAD = 30^\circ$.

(1) 若 $AD = 2$，$AB = 2BC$，求四面体 $ABCD$ 的体积； (2) 若二面角 $C - AB - D$ 为 $60^{\circ}$，求异面直线 $AD$ 与 $BC$ 所成角的余弦值.

如图，椭圆的中心为原点 $O$，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$，一条准线的方程为 $x = 2\sqrt{2}$.

(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 设动点 $P$ 满足： $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OM} + 2\overrightarrow{ON}$，其中 $M$，$N$ 是椭圆上的点，直线 $OM$ 与 $ON$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$. 问：是否存在两个定点 $F_1$，$F_2$，使得 $|PF_1| + |PF_2|$ 为定值？若存在，求 $F_1$，$F_2$ 的坐标；若不存在，说明理由.