如图，椭圆的中心为原点 $O$，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$，一条准线的方程为 $x = 2\sqrt{2}$.

(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 设动点 $P$ 满足： $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OM} + 2\overrightarrow{ON}$，其中 $M$，$N$ 是椭圆上的点，直线 $OM$ 与 $ON$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$. 问：是否存在两个定点 $F_1$，$F_2$，使得 $|PF_1| + |PF_2|$ 为定值？若存在，求 $F_1$，$F_2$ 的坐标；若不存在，说明理由.