设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，已知 $a_{1} = 1$，$a_{2} = \frac{3}{2}$，$a_{3} = \frac{5}{4}$，且当 $n \geqslant 2$ 时，$4S_{n+2} + 5S_{n} = 8S_{n+1} + S_{n-1}$.

(1) 求 $a_{4}$ 的值. (2) 证明： $\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2}a_{n}\right\}$ 为等比数列； (3) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.