设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右顶点为 $A$，上顶点为 $B$.已知椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt5}{3}$，$|AB|=\sqrt{13}$.

(1) 求椭圆的方程； (2) 设直线 $l:y=kx$（$k<0$）与椭圆交于 $P$，$Q$ 两点，$l$ 与直线 $AB$ 交于点 $M$，且点 $P$，$M$ 均在第四象限.若 $\triangle BPM$ 的面积是 $\triangle BPQ$ 面积的 $2$ 倍，求 $k$ 的值.