已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的两个焦点为 $F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$，点 $P(3, \sqrt{7})$ 在双曲线 $C$ 上.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程； (2) 记 $O$ 为坐标原点，过点 $Q(0,2)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于不同的两点 $E$，$F$，若 $\triangle OEF$ 的面积为 $2\sqrt{2}$，求直线 $l$ 的方程.