设圆 $O$ 的方程为 $x^2 - 2x\cos \theta + y^2 + 2(1 + 2\sin \theta)y = 0$，其中 $0\leqslant\theta<2\pi$.

(1) 当 $\theta$ 变化时，求圆 $O$ 的圆心轨迹的普通方程，并画出轨迹的草图； (2) 如果又有圆 $S$：$x^2 + y^2 + 2y = 0$，求 $\theta$ 的值，使得圆 $O$ 与圆 $S$ 的公共弦的长度取最大值（请把满足条件的 $\theta$ 的值都求出来）.