已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）过点 $(0, \sqrt{2})$，且离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程； (2) 设直线 $l: x = my - 1$（$m \in \mathbf{R}$）交椭圆 $E$ 于 $A$、$B$ 两点，判断点 $G\left(-\frac{9}{4}, 0\right)$ 与以线段 $AB$ 为直径的圆的位置关系，并说明理由.