已知函数 $f(x)$ 的图象是由函数 $g(x) = \cos x$ 的图象经如下变换得到：先将 $g(x)$ 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式，并求其图象的对称轴方程； (2) 已知关于 $x$ 的方程 $f(x)+g(x)=m$ 在 $[0,2\pi)$ 内有两个不同的解 $\alpha$、$\beta$.

(i) 求实数 $m$ 的取值范围； (ii) 证明：$\cos(\alpha-\beta)=\frac{2m^{2}}{5}-1$.