已知数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$ 中，$a_1=b_1=c_1=1$，$c_{n+1}=a_{n+1}-a_n$，$c_{n+1}=\dfrac{b_n}{b_{n+2}}\,c_n$（$n\in\mathbf{N}^*$）.

(1) 若数列 $\{b_n\}$ 为等比数列，且公比 $q>0$，且 $b_1+b_2=6b_3$，求 $q$ 与 $a_n$ 的通项公式； (2) 若数列 $\{b_n\}$ 为等差数列，且公差 $d>0$，证明：$c_1+c_2+\cdots+c_n<1+\dfrac1d$，$n\in\mathbf{N}^*$.