已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$，短轴一个端点到右焦点的距离为 $\sqrt{3}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，求 $\triangle AOB$ 面积的最大值.