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12数列★★★★☆
几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 11，11，22，11，22，44，11，22，44，88，11，22，44，88，1616，…\dots，其中第一项是 202^0，接下来的两项是 202^0，212^1，再接下来的三项是 202^0，212^1，222^2，依此类推. 求满足如下条件的最小整数 NN：N>100N>100 且该数列的前 NN 项和为 22 的整数幂. 那么该款软件的激活码是（ ）
A.
440440
B.
330330
C.
220220
D.
110110

2017 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，圆形纸片的圆心为 OO，半径为 5 cm5\mathrm{~cm}，该纸片上的等边三角形 ABCABC 的中心为 OO. DD，EE，FF 为圆 OO 上的点，△DBC\triangle DBC，△ECA\triangle ECA，△FAB\triangle FAB 分别是以 BCBC，CACA，ABAB 为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后，分别以 BCBC，CACA，ABAB 为折痕折起 △DBC\triangle DBC，△ECA\triangle ECA，△FAB\triangle FAB，使得 DD，EE，FF 重合，得到三棱锥. 当 △ABC\triangle ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3\mathrm{cm}^3）的最大值为______.

2017 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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19概率与统计★★★★☆
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 1616 个零件，并测量其尺寸（单位：cm\mathrm{cm}）. 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2).
(1) 假设生产状态正常，记 XX 表示一天内抽取的 1616 个零件中其尺寸在 (μ−3σ,μ+3σ)(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma) 之外的零件数，求 P(X≥1)P(X\ge1) 及 XX 的数学期望； (2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (μ−3σ,μ+3σ)(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
(i) 试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ii) 下面是检验员在一天内抽取的 1616 个零件的尺寸：
{
9.959.9510.1210.129.969.969.969.9610.0110.019.929.929.989.9810.0410.04
10.2610.269.919.9110.1310.1310.0210.029.229.2210.0410.0410.0510.059.959.95
}
经计算得 xˉ=116∑i=116xi=9.97\bar x=\dfrac1{16}\sum_{i=1}^{16}x_i=9.97， s=116∑i=116(xi−xˉ)2=116(∑i=116xi2−16xˉ2)≈0.212s=\sqrt{\dfrac1{16}\sum_{i=1}^{16}(x_i-\bar x)^2} =\sqrt{\dfrac1{16}\left(\sum_{i=1}^{16}x_i^2-16\bar x^2\right)}\approx0.212， 其中 xix_i 为抽取的第 ii 个零件的尺寸，i=1i=1，22，…\dots，1616.
用样本平均数作为 μ\mu 的估计值，用样本标准差 ss 作为 σ\sigma 的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 (μ^−3σ^,μ^+3σ^)(\hat\mu-3\hat\sigma,\hat\mu+3\hat\sigma) 之外的数据，用剩下的数据估计 μ\mu 和 σ\sigma（精确到 0.010.01）.
附：若随机变量 ZZ 服从正态分布 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)，则 P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9974P(\mu-3\sigma<Z<\mu+3\sigma)=0.9974，0.997416≈0.95920.9974^{16}\approx0.9592，0.008≈0.09\sqrt{0.008}\approx0.09.

2017 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），四点 P1(1,1)P_1(1,1)，P2(0,1)P_2(0,1)，P3(−1,32)P_3\left(-1,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)，P4(1,32)P_4\left(1,\dfrac{\sqrt3}{2}\right) 中恰有三点在椭圆 CC 上.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设直线 ll 不经过 P2P_2 点且与 CC 相交于 AA，BB 两点. 若直线 P2AP_2A 与直线 P2BP_2B 的斜率的和为 −1-1，证明：ll 过定点.

2017 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ae2x+(a−2)ex−xf(x)=a\mathrm{e}^{2x}+(a-2)\mathrm{e}^x-x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2017 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知函数 f(x)=−x2+ax+4f(x)=-x^2+ax+4，g(x)=∣x+1∣+∣x−1∣g(x)=\lvert x+1\rvert+\lvert x-1\rvert.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) 的解集； (2) 若不等式 f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) 的解集包含 [−1,1][-1,1]，求 aa 的取值范围.

2017 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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