已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），四点 $P_1(1,1)$，$P_2(0,1)$，$P_3\left(-1,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$，$P_4\left(1,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ 中恰有三点在椭圆 $C$ 上.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 设直线 $l$ 不经过 $P_2$ 点且与 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点. 若直线 $P_2A$ 与直线 $P_2B$ 的斜率的和为 $-1$，证明：$l$ 过定点.

已知函数 $f(x)=a\mathrm{e}^{2x}+(a-2)\mathrm{e}^x-x$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.