如图，圆形纸片的圆心为 $O$，半径为 $5\mathrm{~cm}$，该纸片上的等边三角形 $ABC$ 的中心为 $O$. $D$，$E$，$F$ 为圆 $O$ 上的点，$\triangle DBC$，$\triangle ECA$，$\triangle FAB$ 分别是以 $BC$，$CA$，$AB$ 为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后，分别以 $BC$，$CA$，$AB$ 为折痕折起 $\triangle DBC$，$\triangle ECA$，$\triangle FAB$，使得 $D$，$E$，$F$ 重合，得到三棱锥. 当 $\triangle ABC$ 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：$\mathrm{cm}^3$）的最大值为______.