如图，椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，点 $P(0,1)$ 在短轴 $CD$ 上，且 $\overline{PC} \cdot \overline{PD} = -1$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程； (2) 设 $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A$，$B$ 两点. 是否存在常数 $\lambda$，使得 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \lambda \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ 为定值？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由.