设实数 $x$，$y$ 满足 ，则 $xy$ 的最大值为（ ）

已知函数 $f(x) = 2^x$，$g(x) = x^2 + ax$（其中 $a \in \mathbf{R}$）. 对于不相等的实数 $x_1$，$x_2$，设 $m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$，$n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}$，现有如下命题：

① 对于任意不相等的实数 $x_1$，$x_2$，都有 $m > 0$； ② 对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_1$，$x_2$，都有 $n > 0$； ③ 对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_1$，$x_2$，使得 $m = n$； ④ 对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_1$，$x_2$，使得 $m = -n$.

其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）.

一辆小客车上有 $5$ 个座位，其座位号为 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$. 乘客 $P_1$，$P_2$，$P_3$，$P_4$，$P_5$ 的座位号分别为 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车. 乘客 $P_1$ 因身体原因没有坐自己的 $1$ 号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这 $5$ 个座位的剩余空位中任意选择座位.

(1) 若乘客 $P_1$ 坐到了 $3$ 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 $4$ 种坐法. 下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号填入表中空格处）：

(2) 若乘客 $P_1$ 坐到了 $2$ 号座位，其他乘客按规则就座，求乘客 $P_5$ 坐到 $5$ 号座位的概率.

已知 $A$，$B$，$C$ 为 $\triangle ABC$ 的内角，$\tan A$，$\tan B$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + \sqrt{3}px - p + 1 = 0$（$p \in \mathbf{R}$）的两个实根.

(1) 求 $C$ 的大小； (2) 若 $AB = 3$，$AC = \sqrt{6}$，求 $p$ 的值.

如图，椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，点 $P(0,1)$ 在短轴 $CD$ 上，且 $\overline{PC} \cdot \overline{PD} = -1$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程； (2) 设 $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A$，$B$ 两点. 是否存在常数 $\lambda$，使得 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \lambda \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ 为定值？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由.