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18立体几何初步★★★★☆
如图所示，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为矩形，PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，点 EE 在线段 PCPC 上，PC⊥PC \perp 平面 BDEBDE.
(1) 证明： BD⊥BD \perp 平面 PACPAC； (2) 若 PA=1PA = 1，AD=2AD = 2，求二面角 B−PC−AB - PC - A 的正切值.

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19数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，满足 2Sn=an+1−2n+1+12S_{n} = a_{n + 1} - 2^{n + 1} + 1，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，且 a1a_{1}，a2+5a_{2} + 5，a3a_{3} 成等差数列.
(1) 求 a1a_{1} 的值； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数 nn，有 1a1+1a2+1a3+⋯+1an<32\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{3}{2}.

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20解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率 e=23e = \sqrt{\frac{2}{3}}，且椭圆 CC 上的点到点 Q(0,2)Q(0,2) 的距离的最大值为 33.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 在椭圆 CC 上，是否存在点 M(m,n)M(m, n)，使得直线 l:mx+ny=1l: mx + ny = 1 与圆 O:x2+y2=1O: x^2 + y^2 = 1 相交于不同的两点 AA，BB，且 △OAB\triangle OAB 的面积最大？若存在，求出点 MM 的坐标及相对应的 △OAB\triangle OAB 的面积；若不存在，请说明理由.

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21不等式★★★★☆
设 a<1a < 1，集合 A={x∈R∣x>0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid x > 0\}，B={x∈R∣2x2−3(1+a)x+6a>0}B = \{x \in \mathbf{R} \mid 2x^2 - 3(1 + a)x + 6a > 0\}，D=A∩BD = A \cap B.
(1) 求集合 DD （用区间表示）； (2) 求函数 f(x)=2x3−3(1+a)x2+6axf(x) = 2x^3 - 3(1 + a)x^2 + 6ax 在 DD 内的极值点.

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