在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （$a > b > 0$）的离心率 $e = \sqrt{\frac{2}{3}}$，且椭圆 $C$ 上的点到点 $Q(0,2)$ 的距离的最大值为 $3$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 在椭圆 $C$ 上，是否存在点 $M(m, n)$，使得直线 $l: mx + ny = 1$ 与圆 $O: x^2 + y^2 = 1$ 相交于不同的两点 $A$，$B$，且 $\triangle OAB$ 的面积最大？若存在，求出点 $M$ 的坐标及相对应的 $\triangle OAB$ 的面积；若不存在，请说明理由.