在直角梯形 $ABCD$ 中，$\angle D=\angle BAD=90^{\circ}$，$AD=DC=\frac{1}{2}AB=a$（如图一）. 将 $\triangle ADC$ 沿 $AC$ 折起，使 $D$ 到 $D'$. 记面 $ACD'$ 为 $\alpha$，面 $ABC$ 为 $\beta$，面 $BCD'$ 为 $\gamma$.

(1) 若二面角 $\alpha-AC-\beta$ 为直二面角（如图二），求二面角 $\beta-BC-\gamma$ 的大小； (2) 若二面角 $\alpha-AC-\beta$ 为 $60^{\circ}$（如图三），求三棱锥 $D'-ABC$ 的体积.