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12解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，过右焦点 FF 且斜率为 kk（k>0k > 0）的直线与 CC 相交于 AA，BB 两点. 若 AF→=3FB→\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{FB}，则 k=k =（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设椭圆焦距为 2c2c. 由离心率 ca=32\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}，得 c=32ac=\frac{\sqrt{3}}{2}a，从而 b2=a2−c2=a24b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4}，椭圆方程可写为 x2+4y2=a2x^2+4y^2=a^2. 右焦点为 F=(c,0)F=(c,0)，设直线与椭圆的交点 BB 为 B=(c+t,kt)B=(c+t,kt). 由 AF→=3FB→\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}，得 A=(c−3t,−3kt)A=(c-3t,-3kt)，且 t≠0t\ne0.
将 AA，BB 代入椭圆方程并相减，得 (c−3t)2+36k2t2−(c+t)2−4k2t2=0(c-3t)^2+36k^2t^2-(c+t)^2-4k^2t^2=0，即 t=c1+4k2t=\frac{c}{1+4k^2}. 再将 BB 代入椭圆方程，得 c2+2ct+(1+4k2)t2=a2c^2+2ct+(1+4k^2)t^2=a^2. 令 q=1+4k2q=1+4k^2，代入 c2=34a2c^2=\frac{3}{4}a^2 和 t=cqt=\frac{c}{q}，得到 34a2(1+3q)=a2\frac{3}{4}a^2\left(1+\frac{3}{q}\right)=a^2，所以 1+3q=431+\frac{3}{q}=\frac{4}{3}，即 q=9q=9. 因而 1+4k2=91+4k^2=9，又 k>0k>0，得 k=2k=\sqrt{2}. 故选 B. \end{solution}
A.
11
B.
2\sqrt{2}
C.
3\sqrt{3}
D.
22

2010 · 全国 · 大纲二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的半径为 44，圆 MM 与圆 NN 为该球的两个小圆，ABAB 为圆 MM 与圆 NN 的公共弦，AB=4AB = 4. 若 OM=ON=3OM = ON = 3，则两圆圆心的距离 MN=‾MN =\underline{\hspace{2em}}.

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19立体几何初步★★★★☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AC=BCAC = BC，AA1=ABAA_{1} = AB，DD 为 BB1BB_{1} 的中点，EE 为 AB1AB_{1} 上的一点，AE=3EB1AE = 3EB_{1}.
(1) 证明：DEDE 为异面直线 AB1AB_{1} 与 CDCD 的公垂线. (2) 设异面直线 AB1AB_{1} 与 CDCD 的夹角为 45∘45^{\circ}，求二面角 A1−AC1−B1A_{1}-AC_{1}-B_{1} 的大小.

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−3ax2+3x+1f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3x + 1.
(1) 设 a=2a = 2，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 设 f(x)f(x) 在区间 (2,3)(2,3) 中至少有一个极值点，求 aa 的取值范围.

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22解析几何★★★★☆
已知斜率为 11 的直线 ll 与双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）相交于 BB，DD 两点，且 BDBD 的中点为 M(1,3)M(1,3).
(1) 求 CC 的离心率； (2) 设 CC 的右顶点为 AA，右焦点为 FF，∣DF∣⋅∣BF∣=17\left|DF\right| \cdot \left|BF\right| = 17，证明：过 AA，BB，DD 三点的圆与 xx 轴相切.

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