已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，过右焦点 $F$ 且斜率为 $k$（$k > 0$）的直线与 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点. 若 $\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{FB}$，则 $k =$（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 设椭圆焦距为 $2c$. 由离心率 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得 $c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，从而 $b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4}$，椭圆方程可写为 $x^2+4y^2=a^2$. 右焦点为 $F=(c,0)$，设直线与椭圆的交点 $B$ 为 $B=(c+t,kt)$. 由 $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，得 $A=(c-3t,-3kt)$，且 $t\ne0$.

将 $A$，$B$ 代入椭圆方程并相减，得 $(c-3t)^2+36k^2t^2-(c+t)^2-4k^2t^2=0$，即 $t=\frac{c}{1+4k^2}$. 再将 $B$ 代入椭圆方程，得 $c^2+2ct+(1+4k^2)t^2=a^2$. 令 $q=1+4k^2$，代入 $c^2=\frac{3}{4}a^2$ 和 $t=\frac{c}{q}$，得到 $\frac{3}{4}a^2\left(1+\frac{3}{q}\right)=a^2$，所以 $1+\frac{3}{q}=\frac{4}{3}$，即 $q=9$. 因而 $1+4k^2=9$，又 $k>0$，得 $k=\sqrt{2}$. 故选 B. \end{solution}

已知斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）相交于 $B$，$D$ 两点，且 $BD$ 的中点为 $M(1,3)$.

(1) 求 $C$ 的离心率； (2) 设 $C$ 的右顶点为 $A$，右焦点为 $F$，$\left|DF\right| \cdot \left|BF\right| = 17$，证明：过 $A$，$B$，$D$ 三点的圆与 $x$ 轴相切.