如图，$AB$ 是平面 $\alpha$ 的斜线段，$A$ 为斜足. 若点 $P$ 在平面 $\alpha$ 内运动，使得 $\triangle ABP$ 的面积为定值，则动点 $P$ 的轨迹是（ ）

已知曲线 $C$ 是到点 $P\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{8}\right)$ 和到直线 $y = -\frac{5}{8}$ 距离相等的点的轨迹. $l$ 是过点 $Q(-1, 0)$ 的直线，$M$ 是 $C$ 上（不在 $l$ 上）的动点，$A$、$B$ 在 $l$ 上，$MA \perp l$，$MB \perp x$ 轴（如图）.

(1) 求曲线 $C$ 的方程； (2) 求出直线 $l$ 的方程，使得 $\frac{|QB|^2}{|QA|}$ 为常数.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $N(x,y)$ 为曲线 $C$ 上的点.由距离相等， 展开并约去 $y^2$，得 $x^2+x=2y$，所以曲线 $C$ 的方程为 $y=\frac12(x^2+x)$. \item 直线 $l$ 不可能为过 $Q$ 的竖直直线，否则由 $B\in l$ 且 $MB\perp x$ 轴可知 $M$ 的横坐标为 $-1$，而曲线 $C$ 在该直线上只有点 $Q$，与 $M\notin l$ 矛盾.因此设 $l:y=k(x+1)$.

设 $M=(x,f(x))$，其中 $f(x)=\frac12x(x+1)$.因为 $MB\perp x$ 轴且 $B\in l$，有 $B=(x,k(x+1))$，从而 $|QB|^2=(1+k^2)(x+1)^2$.取直线 $l$ 的方向向量 $\boldsymbol{d}=(1,k)$，设 $A=Q+\lambda\boldsymbol{d}$.由 $MA\perp l$， 因此 要使这个比值对曲线 $C$ 上的动点 $M$ 为常数，两个一次式 $1+\frac{kx}{2}$ 与 $x+1$ 必须成比例.比较常数项和 $x$ 项，得 $1=\frac{k}{2}$，即 $k=2$.此时 $l:y=2(x+1)$，即 $l:2x-y+2=0$，且比值恒为 $5\sqrt5$. \end{enumerate} \end{solution}