一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球. 已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 $\frac{2}{5}$；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 $\frac{7}{9}$.

(1) 若袋中共有 10 个球，

(i) 求白球的个数； (ii) 从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 $\xi$，求随机变量 $\xi$ 的数学期望 $E(\xi)$. (2) 求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 $\frac{7}{10}$，并指出袋中哪种颜色的球个数最少.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item 设白球有 $w$ 个.两球中没有白球的概率为 $1-\frac79=\frac29$，故 于是 $(10-w)(9-w)=20$，解得 $w=5$ 或 $w=14$.由 $0\leqslant w\leqslant10$，得白球有 $5$ 个. \item 设第 $i$ 次摸到白球的指示变量为 $I_i$，则 $\xi=I_1+I_2+I_3$.每次摸球得到白球的概率为 $\frac5{10}$，所以由数学期望的线性性质， \end{enumerate} \item 设袋中共有 $N$ 个球，黑、白、红球数分别为 $K$，$W$，$R$.由 $\frac KN=\frac25$，可设 $N=5m$，$K=2m$，其中 $m$ 为正整数.两球中没有白球的概率为 $\frac29$.令非白球数 $X=K+R=N-W$，则 两球中至少有一个黑球的概率为 又因为 $m\geqslant1$， 而右边移到左边后为 $15m(m-1)\geqslant0$.因此至少得到一个黑球的概率不大于 $\frac7{10}$.

还需比较三种球的个数.若 $X\geqslant\frac{7m}{2}$，则 因为两边之差为 $\frac{m(241m-86)}{36}>0$，这与上面的等式矛盾.因此 $X<\frac{7m}{2}$.于是 $R=X-2m<\frac{3m}{2}<2m=K$，并且 $W-R=7m-2X>0$.所以红球数同时少于黑球数和白球数，红球最少. \end{enumerate} \end{solution}