如图，$AB$ 是平面 $\alpha$ 的斜线段，$A$ 为斜足. 若点 $P$ 在平面 $\alpha$ 内运动，使得 $\triangle ABP$ 的面积为定值，则动点 $P$ 的轨迹是（ ）

如图，矩形 $ABCD$ 和梯形 $BEFC$ 所在平面互相垂直，$BE \parallel CF$，$\angle BCF = \angle CEF = 90^\circ$，$AD = \sqrt{3}$，$EF = 2$.

(1) 求证：$AE \parallel$ 平面 $DCF$； (2) 当 $AB$ 的长为何值时，二面角 $A - EF - C$ 的大小为 $60^\circ$？

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $AB=p>0$.建立直角坐标系，令 $B=(0,0,0)$，$C=(0,\sqrt3,0)$，$A=(p,0,0)$，$D=(p,\sqrt3,0)$，并令梯形所在平面为 $x=0$. 由 $\angle BCF=90^\circ$ 及 $BE\parallel CF$，可设 $E=(0,0,u)$，$F=(0,\sqrt3,v)$.令 $d=v-u$，由 $EF=2$ 得 $3+d^2=4$，即 $d^2=1$.又由 $\angle CEF=90^\circ$， 故 $ud=3$.适当取 $z$ 轴方向后可令 $d=1$，于是 $u=3$，即 $E=(0,0,3)$，$F=(0,\sqrt3,4)$.

此时 $D$、$C$、$F$ 均满足 $y=\sqrt3$，所以平面 $DCF$ 为 $y=\sqrt3$.而 $\overrightarrow{AE}=(-p,0,3)$ 的 $y$ 分量为零，故 $AE\parallel$ 平面 $DCF$. \item 取平面 $AEF$ 和平面 $CEF$ 的法向量 $\boldsymbol{n}_1=\overrightarrow{EA}\times\overrightarrow{EF}=(3\sqrt3,-p,p\sqrt3)$，$\boldsymbol{n}_2=\overrightarrow{EC}\times\overrightarrow{EF}=(4\sqrt3,0,0)$. 二面角 $A-EF-C$ 的平面角取锐角，设其为 $\theta$，则 当 $\theta=60^\circ$ 时， $\frac{3\sqrt3}{\sqrt{27+4p^2}}=\frac12$，所以 $27+4p^2=108$，从而 $p^2=\frac{81}{4}$.由于 $p>0$，得 $AB=p=\frac92$. \end{enumerate} \end{solution}