如图，在多面体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于 $E$，$F$ 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为 $c$，$d$ 与 $a$，$b$，且 $a>c$，$b>d$，两底面间的距离为 $h$.

(1) 求侧面 $ABB_{1}A_{1}$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的大小； (2) 证明：$EF \parallel$ 平面 $ABCD$； (3) 在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 $V_{\text{估}}=S_{\text{中截面}}\cdot h$ 来计算，已知它的体积公式是 $V=\frac{h}{6}(S_{\text{上底面}}+4S_{\text{中截面}}+S_{\text{下底面}})$，试判断 $V_{\text{估}}$ 与 $V$ 的大小关系，并加以证明.

注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立直角坐标系，使下底面在 $z=0$ 平面内，并取 $A=(0,0,0)$，$B=(a,0,0)$，$C=(a,b,0)$，$D=(0,b,0)$. 设上底面的一个顶点为 $A_{1}=(u,v,h)$，则可写成 $B_{1}=(u+c,v,h)$，$C_{1}=(u+c,v+d,h)$，$D_{1}=(u,v+d,h)$. 侧面 $ABB_{1}A_{1}$ 与底面的二面角，在垂直于 $AB$ 的截面内对应于水平位移为 $v$、竖直位移为 $h$ 的直角三角形；相对侧面 $CDD_{1}C_{1}$ 与底面的二面角，在相应截面内的水平位移为 $b-v-d$. 两个二面角相等，且 $h>0$，所以 $\frac{h}{|v|}=\frac{h}{|b-v-d|}$，$v^{2}=(b-v-d)^{2}$. 由 $b>d$ 得 $v=\frac{b-d}{2}$. 对另一对相对侧面，侧面 $ADD_{1}A_{1}$ 与底面的二面角对应的水平位移为 $u$，侧面 $BCC_{1}B_{1}$ 与底面的二面角对应的水平位移为 $a-u-c$. 同样由二面角相等及 $a>c$，有 $\frac{h}{|u|}=\frac{h}{|a-u-c|}$，$u^{2}=(a-u-c)^{2}$， 从而 $u=\frac{a-c}{2}$. 因此在上述截面内，二面角记为 $\theta$，则 故 $\theta=\arctan\frac{2h}{b-d}$. \item 由图中相对的侧棱交于 $E$、$F$. 在平面 $ADD_{1}A_{1}$ 内，设 $E=A A_{1}\cap D D_{1}$，用同一参数表示两条侧棱上的点，有 两式的 $z$ 坐标相等，故交点对应同一个参数 $t$. 比较 $y$ 坐标并消去 $tv$，得 $t(b-d)=b$，所以 在平面 $BCC_{1}B_{1}$ 内，直线 $BB_{1}$、$CC_{1}$ 上同参数的点分别为 比较这两式的 $y$ 坐标，同样得到 $t(b-d)=b$，从而 于是 $E$、$F$ 位于同一个与底面平行的平面内，故 $EF\parallel$ 平面 $ABCD$. \item 中截面位于 $z=\frac{h}{2}$ 的平面内. 由上述坐标表示，截面的两条边分别是上下底面对应边长的平均值，即长、宽分别为 $\frac{a+c}{2}$、$\frac{b+d}{2}$. 因此 从而 代入已知体积公式，得 两者之差为 因为 $a>c$、$b>d$、$h>0$. 所以 $V_{\text{估}}<V$. \end{enumerate} \end{solution}

数列 $\{a_n\}$ 由下列条件确定：$x_1=a>0$，$x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$，$n\in\mathbf{N}$.

(1) 证明：对 $n\ge 2$，总有 $x_n\ge \sqrt{a}$； (2) 证明：对 $n\ge 2$，总有 $x_n\ge x_{n+1}$； (3) 若数列 $\{a_n\}$ 的极限存在，且大于零，求 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $x_1=a>0$ 可知 $x_1>0$. 若 $x_n>0$，则 $x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)>0$，故所有 $x_n$ 都为正数. 并且 取 $n\geqslant1$，即得 $x_{n+1}\geqslant\sqrt{a}$，所以对任意 $n\geqslant2$，都有 $x_n\geqslant\sqrt{a}$. \item 对 $n\geqslant2$，由上一问及 $x_n>0$ 得 因此 $x_n\geqslant x_{n+1}$. \item 设 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=L>0$. 在递推式两边取极限，得到 所以 $2L^{2}=L^{2}+a$，即 $L^{2}=a$. 由于 $L>0$，故 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=L=\sqrt{a}$. \end{enumerate} \end{solution}

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的不恒为零的函数，且对于任意的 $a$，$b\in\mathbf{R}$ 都满足：$f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$.

(1) 求 $f(0)$，$f(1)$ 的值； (2) 判断 $f(x)$ 的奇偶性，并证明你的结论； (3) 若 $f(2)=2$，$u_n=\frac{f(2^{-n})}{n}$（$n\in\mathbf{N}$），求数列 $\{u_n\}$ 的前 $n$ 项的和 $S_n$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在已知关系中取 $a=b=0$，得 $f(0)=0$. 再取 $a=b=1$，得 $f(1)=2f(1)$，所以 $f(1)=0$. \item 取 $a=b=-1$，由 $f(1)=0$ 得 故 $f(-1)=0$. 对任意 $x\in\mathbf{R}$，取 $a=-1$、$b=x$，则 所以 $f(x)$ 是奇函数. \item 先求正整数次幂处的函数值. 由 $f(1)=0$ 及 $f(2)=2$，对 $n\geqslant1$ 有 用归纳法可得 $f(2^n)=n2^n$：当 $n=0$ 时，等式为 $f(1)=0$；若 $f(2^{n-1})=(n-1)2^{n-1}$，则 再在已知关系中取 $a=2^n$、$b=2^{-n}$，利用 $f(1)=0$，得到 所以 $f(2^{-n})=-\frac{n}{2^n}$，从而 因此 \end{enumerate} \end{solution}