已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的不恒为零的函数，且对于任意的 $a$，$b\in\mathbf{R}$ 都满足：$f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$.

(1) 求 $f(0)$，$f(1)$ 的值； (2) 判断 $f(x)$ 的奇偶性，并证明你的结论； (3) 若 $f(2)=2$，$u_n=\frac{f(2^{-n})}{n}$（$n\in\mathbf{N}$），求数列 $\{u_n\}$ 的前 $n$ 项的和 $S_n$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在已知关系中取 $a=b=0$，得 $f(0)=0$. 再取 $a=b=1$，得 $f(1)=2f(1)$，所以 $f(1)=0$. \item 取 $a=b=-1$，由 $f(1)=0$ 得 故 $f(-1)=0$. 对任意 $x\in\mathbf{R}$，取 $a=-1$、$b=x$，则 所以 $f(x)$ 是奇函数. \item 先求正整数次幂处的函数值. 由 $f(1)=0$ 及 $f(2)=2$，对 $n\geqslant1$ 有 用归纳法可得 $f(2^n)=n2^n$：当 $n=0$ 时，等式为 $f(1)=0$；若 $f(2^{n-1})=(n-1)2^{n-1}$，则 再在已知关系中取 $a=2^n$、$b=2^{-n}$，利用 $f(1)=0$，得到 所以 $f(2^{-n})=-\frac{n}{2^n}$，从而 因此 \end{enumerate} \end{solution}