数列 $\{a_n\}$ 由下列条件确定：$x_1=a>0$，$x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$，$n\in\mathbf{N}$.

(1) 证明：对 $n\ge 2$，总有 $x_n\ge \sqrt{a}$； (2) 证明：对 $n\ge 2$，总有 $x_n\ge x_{n+1}$； (3) 若数列 $\{a_n\}$ 的极限存在，且大于零，求 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $x_1=a>0$ 可知 $x_1>0$. 若 $x_n>0$，则 $x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)>0$，故所有 $x_n$ 都为正数. 并且 取 $n\geqslant1$，即得 $x_{n+1}\geqslant\sqrt{a}$，所以对任意 $n\geqslant2$，都有 $x_n\geqslant\sqrt{a}$. \item 对 $n\geqslant2$，由上一问及 $x_n>0$ 得 因此 $x_n\geqslant x_{n+1}$. \item 设 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=L>0$. 在递推式两边取极限，得到 所以 $2L^{2}=L^{2}+a$，即 $L^{2}=a$. 由于 $L>0$，故 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=L=\sqrt{a}$. \end{enumerate} \end{solution}

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的不恒为零的函数，且对于任意的 $a$，$b\in\mathbf{R}$ 都满足：$f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$.

(1) 求 $f(0)$，$f(1)$ 的值； (2) 判断 $f(x)$ 的奇偶性，并证明你的结论； (3) 若 $f(2)=2$，$u_n=\frac{f(2^{-n})}{n}$（$n\in\mathbf{N}$），求数列 $\{u_n\}$ 的前 $n$ 项的和 $S_n$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在已知关系中取 $a=b=0$，得 $f(0)=0$. 再取 $a=b=1$，得 $f(1)=2f(1)$，所以 $f(1)=0$. \item 取 $a=b=-1$，由 $f(1)=0$ 得 故 $f(-1)=0$. 对任意 $x\in\mathbf{R}$，取 $a=-1$、$b=x$，则 所以 $f(x)$ 是奇函数. \item 先求正整数次幂处的函数值. 由 $f(1)=0$ 及 $f(2)=2$，对 $n\geqslant1$ 有 用归纳法可得 $f(2^n)=n2^n$：当 $n=0$ 时，等式为 $f(1)=0$；若 $f(2^{n-1})=(n-1)2^{n-1}$，则 再在已知关系中取 $a=2^n$、$b=2^{-n}$，利用 $f(1)=0$，得到 所以 $f(2^{-n})=-\frac{n}{2^n}$，从而 因此 \end{enumerate} \end{solution}