设椭圆 $\frac{x^2}{a^{2}} + \frac{y^2}{b^{2}} = 1$ （$a > b > 0$）的左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$. 点 $P(a, b)$ 满足 $|PF_2| = |F_1F_2|$.

(1) 求椭圆的离心率 $e$； (2) 设直线 $PF_{2}$ 与椭圆相交于 $A$，$B$ 两点，若直线 $PF_{2}$ 与圆 $(x + 1)^{2} + (y - \sqrt{3})^{2} = 16$ 相交于 $M$，$N$ 两点，且 $|MN| = \frac{5}{8} |AB|$，求椭圆的方程.