已知函数 $f(x) = 4x^{3} + 3tx^{2} - 6t^{2}x + t - 1$，$x \in \mathbf{R}$，其中 $t \in \mathbf{R}$.

(1) 当 $t = 1$ 时，求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程； (2) 当 $t \neq 0$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间； (3) 证明：对任意的 $t \in (0, +\infty)$，$f(x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内均存在零点.