已知函数 $f(x) = a \times b^x$ 的图象过点 $A\left(4, \frac{1}{4}\right)$ 和 $B(5,1)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式； (2) 记 $a_{n} = \log_{2}f(n)$，$n$ 是正整数，$S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，解关于 $n$ 的不等式 $a_{n}S_{n} \leqslant 0$； (3) 对于（2）中的 $a_{n}$ 与 $S_{n}$，整数 $10^{4}$ 是否为数列 $\{a_{n}S_{n}\}$ 中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.