已知函数 $y = f(x)$（定义域为 $D$，值域为 $A$）有反函数 $y = f^{-1}(x)$，则方程 $f(x) = 0$ 有解 $x = a$，且 $f(x) > x$（$x \in D$）的充要条件是 $y = f^{-1}(x)$ 满足______.

\begin{answer} $f^{-1}(0)=a$，且 $f^{-1}(x)<x$（$x\in A$） \end{answer}

\begin{solution} 由方程 $f(x)=0$ 有解 $x=a$，可知 $f(a)=0$. 因为 $f$ 有反函数，故 $0\in A$，且对等式两边作用 $f^{-1}$，得 $f^{-1}(0)=a$.

再设 $x\in D$，令 $y=f(x)$，则 $y\in A$，并且 所以 $f(x)>x$ 对任意 $x\in D$ 成立，当且仅当 $f^{-1}(y)<y$ 对任意 $y\in A$ 成立. 将 $y$ 改记为 $x$，所求条件为 $f^{-1}(x)<x$（$x\in A$）. \end{solution}