已知 $x_1 > 0$，$x_1 \neq 1$，且 $x_{n+1} = \frac{x_n(x_n^2 + 3)}{3x_n^2 + 1}$，（$n = 1$，$2$，$\cdots$）. 试证：数列 $\{x_n\}$ 或者对任意自然数 $n$ 都满足 $x_n < x_{n+1}$，或者对任意自然数 $n$ 都满足 $x_n > x_{n+1}$.